BAB I
PENDAHULUAN
A.
Latar Belakang
Bilangan adalah
suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Bilangan juga merupakan
suatu ide yang bersifat abstrak yang akan memberikan keterangan mengenai
banyaknya suatu kumpulan benda. Simbol ataupun lambang yang digunakan adalah yang
mewakili bilangan itu disebut angka atau lambang bilangan. Dalam penggunaan sehari-hari,
angka, bilangan dan nomor seringkali disamakan, secara definisi , angka,
bilangan dan nomor merupakan tiga entitas yang berbeda.
Angka adalah suatu
tanda atau lambang yang digunakan untuk melambangkan bilangan,
sedangkan nomor biasanya menunjuk pada satu atau lebih angka yang
melambangkan sebuah bilangan bulat dalam suatu barisan bilangan-bilangan bulat
yang berurutan
B.
Rumusan masalah
1.
Apa
yang di maksud dengan Bilangan Bulat, Asli, dan Cacah?
2.
Apa
saja sifat-sifat operasi perhitungan dalam bilangan bulat dan cacah?
C.
Tujuan Makalah
1. Digunakan
untuk memenuhi tugas mata kuliah Matematika
Dasar
2. Untuk
membahas tentang bilangan asli,
bulat dan cacah
D.
Manfaat
a.
Dapat memberikan
contoh bilangan bulat
b.
Dapat
menentukan letak bilangan bulat dalam garis bilangan.
c.
Dapat
menyelesaikan operasi tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat
bilangan bulat termasuk operasi campuran.
BAB II
PEMBAHASAN
BILANGAN ASLI ,
BILANGAN CACAH, dan BILANGAN BULAT
A. Bilangan
Asli ( A )
1. Bilangan
asli (A) (ordinal) merupakan bilangan yang dimulai dari angka 1 dan bertambah
1.
2. Pada
garis deret ukur bilangan matematika yang dimulai dari angka 1 bertambah 1
kearah kanan.
3. Bilangan
asli juga merupakan bilangan yang mula-mula dipakai untuk membilang.
4. Bilangan
asli tertutup pada operasi penjumlahan dan perkalian,karena ketika bilangan
asli dikalikan atau dijumlahkan selalu menghasilkan bilangan asli pula.
5. Bilangan
asli adalah himpunan bilangan bulat positif dan nol tidak termasuk. Nama
lain dari bilangan ini adalah bilangan
hitung atau bilangan yang bernilai positif (integer positif).
Contoh
:
{1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9}
B. Bilangan
Cacah ( C )
Bilangan cacah (c)
kardinal merupakan bilangan bulat positif dan dimulai dari angka nol. Bilangan
cacah juga merupakan himpunan bilangan asli ditambah dengan nol.
Contoh : ( 0, 1, 2, 3, 4, 5 ……)
Bilangan
negatif (integer negatif) adalah bilangan yang lebih kecil atau kurang
dari nol. Atau juga bisa dikatakan bilangan yang letaknya disebelah kiri nol
pada garis bilangan.
Contoh :
{-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9,
…}
a. Operasi
Penjumlahan
Fakta-fakta dasar
penjumlahan untuk anak SD harus dikuasai dari awal. Yang dimaksud dengan
fakta-fakta dasar penjumlahan ialah penjumlahan atau kombinasi bilangan dari 0
sampai 9, misalnya 1+9, 6+3, 9+9 adapun 11+9 bukan fakta dasar penjumlahan
sebab bukan bilangan yang lambangnya terdiri dari satu angka. Anak-anak SD
pertama kali memperoleh pembelajaran penjumlahan pada umumnya dikelas 1 SD
karena taraf pikir anak masih konkret.
1)
Sifat Tertutup Penjumlahan dan perkalian
Untuk setiap bilangan cacah a
dan b,
a
+ b merupakan bilangan cacah
dan
a
x b (atau
a . b) merupakan
bilangan cacah
2)
Sifat komutatif
penjumlahan / perkalian:
a + b = b + a atau a.b
= b.a,
untuk
setiap a,b Î C
3)
Sifat assosiatif penjumlahan/ perkalian:
(a +
b) + c = a + (b + c ) atau (a.b).c = a.(b.c),
untuk
setiap a,b,c Î C
4)
Ada
unsur identitas penjumlahan/ perkalian:
Ada bilangan
cacah 0 sehingga
a + 0 = 0 + a = a untuk setiap a Î C atau
Ada
bilangan cacah 1 sehingga
a.1 = 1.a = a, untuk setiap aÎC
5)
Sifat distributif
perkalian terhadap penjumlahan, yaitu distribusi kiri dan distribusi kanan
yaitu:
a.(b
+ c) = (a.b) + (a.c)
(b + c).a
= (b.a) + (c.a)
untuk setiap a.b.c
Î C
b. Operasi
Pengurangan
Setelah operasi
penjumlahan, operasi berikutnya adalah pengurangan. Operasi ini dibandingkan dengan
penjumlahan banyak ditemui permasalahan. Fakta-fakta dasar pengurangan ,
bilangan yang dikurangi harus kurang atau sama dengan 18, sedangkan
pengurangannya ialah bilangan cacah dari 0 sampai 9, 18-9 adalah fakta dasar,
18-2, 17-15, 7-9 adalah contoh-contoh bukan fakta dasar pengurangan.
C.
Bilangan Bulat
Bilangan bulat adalah
himpunan bilangan cacah dan himpunan semua bilangan bulat negative, -0 adalah
sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi secara terpisah. Bilangan bulat dapat
dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan. Himpunan semua bilangan bulat
dalam matematika dilambangkan dengan Z, berasal dari Zahlen (bahasa
Jerman untuk “bilangan”) himpunan semua bilangan bulat terdiri atas :
• Bilangan
bulat juga bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765,
-34, 0
•Bilangan bulat positif atau bilangan asli (1, 2, 3, 4, 5 … )
•Bilangan bulat nol (0)
•Bilangan bulat negatif (-1, -2, -3, -4, -5 …)
Operasi hitung
pada bilangan bulat :
1.
Penjumlahan
Dua Bilangan Bulat dan Sifat-Sifatnya
a)
Penjumlahan
dua bilangan bulat tanpa alat Bantu
Contoh : -5 + 3 =…….
Caranya jika kita pinjam 5 kemudian membayar 3, maka kita
masih punya pinjaman 2. Jadi -5 + 3 = -2
b)
Penjumlahan
dua bilangan bulat dengan garis bilangan
Contoh
5
+ (-3) =…….
. . . . . . . . . . .
-3 -2 -1
0 1 2 3
4
5 6
7
5
+ (-3) = 2
-7
+ 2 =…….
. . . . . . . . . . .
-8 -7
-6 -5
-4 -3
-2
-1 0 1
2
-7 + 2 = -5
c) Sifat-sifat
penjumlahan bilangan bulat
Operasi pada
himpunan bilangan bulat memenuhi sifat :
Ø Tertutup
Untuk
sembarang bilangan bulat
a dan b,
jika a + b = c, maka c adalah bilangan bulat.
Contoh :
2
+
(-5) = -3
2dan
-5 adalah bilangan bulat, maka -3 adalah bilangan bulat.
Ø
Komutatif
Untuk
sembarang bilangan bulat a
dan b, berlaku a + b = b + a
Contoh :
2
+ 3 = 3 + 2 = 5
-3
+ 1 = 1 + (-3) = -2
Ø Asosiatif
Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c, berlaku :
(a + b) + c = a + (b + c)
Contoh : (2 +
(-1)) + 3 = 2 + (-1 + 3)
1+ 3 = 2 + 2
=
4
Ø Mempunyai
unsur identitas
Untuk sembarang bilangan bulat a, maka a + 0 = 0 + a = a
, 0
adalah
unsur identitas ( elemen netral ) pada penjumlahan.
2.
Pengurangan Bilangan
Bulat
a)
Pengurangan
dua bilangan bulat dengan garis bilangan
Contoh
:
5 - 3 =……….
. . . . . . . . . . .
-3 -2
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
5
- 3 = 2
b)
Pengurangan
sebagai penjumlahan dengan lawan pengurangnya
Dalam bentuk umum ditulis jika a dan b adalah bilangan
bulat, maka a – b = a + (-b)
Contoh :
4
– 6 = 4 + (-6) = -2
2
– (-3) = 2 + 3 = 5
c)
Pengurangan
dua bilangan bulat bersifat tertutup
Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, jika a - b = c,
maka c adalah bilangan bulat
Contoh : 2 - 5 =
-3
2
dan
5 adalah bilangan bulat, maka -3 adalah bilangan bulat.
3.
Perkalian
Bilangan Bulat dan Sifat-Sifatnya
a)
Mengingat kembali arti
perkalian dua bilangan
Contoh :
Ø x
3 artinya 3 + 3 = 6
Ø 4
x (-2) artinya -2 + (-2) + (-2) + (-2) = -8
Ø (-7)
x (-3) = 21
Hal di atas
menunjukan bahwa :
1)
Hasil
kali dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif.
2)
Hasil
kali bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, atau sebaliknya
adalah bilangan bulat negatif.
3)
Hasil
kali dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif.
b)
Sifat-sifat perkalian
bilangan bulat
Ø Tertutup
Untuk
sembarang bilangan bulat a
dan b,
jika a x b = c, maka c adalah bilangan bulat
Contoh : 2 x (-5) =
-10
2 dan -5 adalah bilangan bulat, maka -10 adalah
bilangan bulat.
Ø Komutatif
Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, berlaku
a
x b = b xa
Contoh
1. 2
x 3 = 3 x 2 = 6
2. -3
x 1 = 1 x (-3) = -3
Ø Asosiatif
Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c, berlaku
(a x b) x c = a x (b x c).
Contoh
: (2 x (-1)) x 3 = 2 x (-1 x 3)
-2 x 3 = 2 x -3
-6 = -6
Ø Mempunyai
unsur identitas
Untuk sembarang
bilangan bulat a, maka a x 1 = 1 x a = a
1 adalah unsur identitas ( elemen netral
) pada perkalian.
Ø Perkalian
bilangan nol
Untuk sembarang
bilangan bulat a, maka 0 x a = a x 0 = 0
Contoh : 3 x 0 = 0 x 3 = 0
Ø Distributif
Untuk sembarang
bilangan bulat a, b dan c berlaku :
·
a
x (b + c) = (a x b) + (a x c)
·
a
x (b - c)=(a x b) - (a x c)
Contoh : 8 x ((-2) + 3) = (8 x (-2)) +
(8 x 3)
BAB
II
PENUTUP
A.
|
NOL
|
1.
|
Bilangan
Bulat Negatif
|
|
Bilangan
Bulat Positif
|
| | | | | | | | | | |
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
2.
Pada garis bilangan
semakin ke kanan, nilai bilangan semakin besar.
3.
Jika diagram panah
menuju ke kanan, menunjukan bilangan bulat positif.
Jika
diagram panah menuju ke kiri, menunjukan bilangan bulat negatif.
4.
Penjumlahan dengan
bilangan negatif dapat di lakukan dengan pengurangan dari lawan bilangan
negatif tersebut.
Contoh : 52 + (-4) = 52 – 4 = 48
6.
Bilangan asli (A)
(ordinal) merupakan bilangan yang dimulai dari angka 1 dan bertambah 1.
7.
Bilangan cacah (c)
kardinal merupakan bilangan bulat positif dan dimulai dari angka nol. Bilangan
cacah juga merupakan himpunan bilangan asli ditambah dengan nol.
8.
Bilangan
bulat terdiri dari Bilangan bulat positif atau
bilangan asli, Bilangan bulat nol (0) dan Bilangan bulat negatif
(-1, -2, -3, -4, -5 …)
9.
DAFTAR PUSTAKA
-
Astuty, B. (2009). Ayo Belajar
Matematika. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional.
0 komentar:
Posting Komentar